边长为 1 的正方形四个顶点的村庄。要修路两两相通。求路的最短长度。
这个应该不是 X 形，应该是>-< 这种形状吧？
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misdakeJan 18, 2023
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列个>-<形状下总长度的函数求导判断正负，发现是凹的然后求最小值
另外我记得这种长度权重不同的求最值问题可以用费马原理来着。 |
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misdakeJan 18, 2023
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但如何证明这个形状最短呢？
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根据三角形任意两边之和必定大于第三边，>-< 应该比 X 更长
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lance6716Jan 18, 2023 via Android
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肥皂泡
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ziwiwizJan 18, 2023 via Android
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假设边长为 2 ， 计算一半长度(>-)，恒坐标为 x ，2*(x^2+1)^(1/2)+1-x ，求导为 2*x*(x^2+1)*(-1/2)-1 ，解 x^2+1=4x ，x=2±√3 。边长为 1 的话，就是横坐标为 1-(√3)/2
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lance6716Jan 18, 2023 via Android
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这个为什么不是匚型
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cpstarJan 19, 2023
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如果是>-<，那是不是可以假定>-<是一个关于正方形中心的对称图形呢？那是不是可以设中间的横线长度为 x ，则五段路线的总长为 f(x)=x+2√(x^2-2x+2)，0≤x≤1 ，这个函数是个凹陷型的，最小值大概在 0.4 左右
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cpstarJan 19, 2023
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ziwiwizJan 19, 2023 via Android
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@ziwiwiz 解得应该是 x^2+1=4x^2 ，x=√3/3 ，边长为 1 就是√3/6 ，中间横线长度为 1-√3/3≈0.423
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lance6716Jan 19, 2023 via Android
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看到根号 3 就想起蜂巢（正六边形）的一些特殊性质，在真实世界由蜜蜂进行的模拟中它最省材料
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swullingJan 19, 2023 via iPhone
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应该就是 X 。而不是别的解。
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swullingJan 19, 2023 via iPhone
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不过仔细想了想，不是 X 。
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这是个相当不平凡的问题，关键词：Steiner 树。
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